Chute Libre Verticale 2bac

La chute verticale d’un solide – Cours de Physique-Chimie 2BAC PC

La chute verticale d’un solide est un chapitre important du programme de physique-chimie de la deuxième année du baccalauréat. Ce cours présente la chute libre, les forces de frottement fluide, la poussée d’Archimède, la vitesse limite et la méthode d’Euler.

I. La chute libre d’un solide

1. Définition de la chute libre

Un solide est en chute libre lorsqu’il est soumis uniquement à son poids. On néglige donc l’action de l’air et les autres forces éventuelles.

La deuxième loi de Newton s’écrit :

m · a = P = m · g

En choisissant un axe vertical orienté vers le bas :

a_z = g

2. Équations horaires du mouvement

La vitesse du solide à l’instant t est donnée par :

v_z(t) = gt + v_z0

L’équation horaire de la position est :

z(t) = z₀ + v_z0t + ½gt²

Avec :

• g : intensité du champ de pesanteur, en m·s⁻² ;
• v_z0 : vitesse initiale suivant l’axe vertical, en m·s⁻¹ ;
• z₀ : position initiale, en mètres ;
• t : durée du mouvement, en secondes.

II. La chute verticale avec frottement

1. Les forces exercées sur un solide en mouvement dans un fluide

a. Le poids

Le poids du solide est une force verticale dirigée vers le bas :

P = mg

b. La poussée d’Archimède

La poussée d’Archimède est une force exercée par le fluide sur le solide immergé. Elle est dirigée vers le haut lors d’une chute verticale.

F_A = ρ_f V_im g

On peut également écrire :

F_A = m_fg

Où :

• ρ_f : masse volumique du fluide, en kg·m⁻³ ;
• V_im : volume immergé, en m³ ;
• m_f : masse du fluide déplacé, en kg.

c. La force de frottement fluide

La force de frottement fluide s’oppose au mouvement du solide. Son intensité peut être modélisée par la relation :

f = kvⁿ

• Pour n = 1 : f = kv.
• Pour n = 2 : f = kv².

Le coefficient k dépend notamment du fluide et du modèle de frottement considéré. La valeur de n dépend du régime étudié.

2. Établissement de l’équation différentielle

Considérons un solide de masse m qui tombe verticalement dans un fluide. On choisit un axe vertical orienté vers le bas et on suppose que le solide se déplace vers le bas.

D’après la deuxième loi de Newton, la projection sur l’axe vertical donne :

ma = mg − F_A − f

En utilisant F_A = m_fg et f = kvⁿ :

m · dv/dt = mg − m_fg − kvⁿ

Après division par m :

dv/dt = g(1 − m_f/m) − (k/m)vⁿ

On pose :

A = g(1 − m_f/m)

B = k/m

L’équation différentielle devient :

dv/dt = A − Bvⁿ

III. Les grandeurs caractéristiques du mouvement

1. La vitesse limite

Lorsque le régime limite est atteint, la vitesse devient constante. L’accélération est alors nulle :

dv/dt = 0

À partir de l’équation différentielle :

A − Bv_limⁿ = 0

On obtient :

v_lim = (A/B)^1/n

Cette expression est valable lorsque A et B sont positifs et que n est strictement positif.

2. L’accélération initiale

L’accélération à l’instant initial t = 0 est :

a₀ = A − Bv₀ⁿ

Si le solide est lâché sans vitesse initiale, alors v₀ = 0. Pour n > 0, on obtient :

a₀ = A = g(1 − m_f/m)

3. La constante de temps

La constante de temps caractérise l’évolution de la vitesse vers sa valeur limite. Dans la méthode graphique, on peut l’estimer à l’aide de la tangente à la courbe v = f(t) à l’origine et de l’asymptote horizontale, selon la représentation utilisée dans le cours.

IV. La méthode d’Euler

1. Principe

La méthode d’Euler permet d’obtenir une approximation numérique de la vitesse à partir de l’équation différentielle :

dv/dt = A − Bvⁿ

On choisit un pas de temps Δt et on note :

t_i = t_i−1 + Δt

2. Relations de récurrence

L’accélération à l’instant t_i est calculée par :

a_i = A − Bv_iⁿ

La vitesse à l’instant suivant est calculée par :

v_i = v_i−1 + a_i−1Δt

Il faut d’abord calculer l’accélération à l’instant connu, puis utiliser cette valeur pour déterminer la vitesse à l’instant suivant.

3. Tableau de calcul

V. Résumé des formules essentielles

Conclusion

L’étude de la chute verticale d’un solide permet d’appliquer la deuxième loi de Newton, d’établir une équation différentielle et de comprendre l’évolution de la vitesse en présence de frottements.

Pour réussir les exercices de 2BAC PC, il est essentiel de savoir identifier les forces, choisir un axe adapté, établir l’équation différentielle et appliquer correctement la méthode d’Euler.

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